多角度构造等量关系求正方形中的线段长(八年级数学)

多角度构造等量关系求正方形中的线段长（八年级数学）

在八年级下册正方形学习时，由于它本身的对称性导致可用等量关系非常多，无论从哪个角度出发，总能找到合适的思路去解决问题，在例题教学中，我也发现学生对前面知识点的熟练程度直接导致了突破口选择的不同，这样的例题很难得，同时学生的多种思维更难得。

题目

正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于G、F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，求MN的长.

解析：

方法一，构造中位线

在阅读题目条件过程中，一般出现了两个中点，多半可以联想到中位线，当然，图中的MN目前还不是任何一个三角形的中位线，因此需要构造图形。

点M是DG中点，DG是△DFG的一条边，N是CE中点，而CE所在三角形有两个，分别是△EBC和△EFC，选择哪一个，取决于综合分析结果。

我们取DF中点H，连接MH，再取CF中点K，连接NK，最后再过点M作NK的垂线，如下图：

从上图中，我们成功构造出了两条中位线，顺便一个矩形MLKH，而我们要求的线段MN，在△MNL中。

正方形边长为6，BE=4，我们可以由它们求得DF=2，HF是DF的一半，FK是CF的一半，因此HK是CD的一半，HK=3，而MH是FG的一半，FG=DF=2，因此MH=1，同样的NK是EF的一半，得到NK=3，于是我们可求得NL=3-1=2，在Rt△MNL中，利用勾股定理可求MN=√13；

方法二，构造全等三角形

连接EM，CM，MF，如下图：

先看图中的△DFG，它是一个等腰直角三角形，M是斜边上的中点，所以可得FM=GM，∠MFD=45°，再观察图中的△EMG和△CMF，∠EGM=∠BEF+∠ABD=135°，∠CFM=180°-∠MFD=135°，然后看图中△BEG，它也是一个等腰直角三角形，于是EG=BE，再加上矩形BCFE，BE=CF，等量转换得到EG=CF，至此全等的条件全部具备，可证明△EMG≌△CMF，所以∠EMG=∠CFM，EM=CM，而∠CMF+∠BMC=90°，因此∠EMG+∠BMC=90°，即∠EMC=90°，这就说明△EMC也是一个等腰直角三角形，且N是斜边上的中点，因此MN为CE的一半，显然CE利用勾股定理可求，CE=2√13，所以MN=√13；

方法三，构造一线三直角模型

连接EM，CM，取DF中点K，连接KM并延长交AB于点H，如下图：

这仍然利用了中位线，证明MK∥EF，再来看图中△BHM，很容易证明它是一个等腰直角三角形，△DMK也是等腰直角三角形，所以我们可得到HM=HB，MK=DK=KF，图中四边形EFKH是矩形，因此MK=EH，图中四边形BCKH也是矩形，因此MH=CK，至此△EMH≌△MCK，和方法二类似，我们仍然能证明△EMC是等腰直角三角形，从而求得MN=√13，不再赘述。

解题反思

在正方形几何题中，常见的等量关系有矩形、等腰直角三角形、直角三角形、等腰三角形等，它们的出现并不是随机的，而是有依据的，因此读题的过程中，找出它们很关键，有些图形是明摆着画出来的，还有一些则是被命题者“拿掉一部分”的，这需要平时训练中，对常见模型烂熟于心。

解法之所以会多样，原因是多角度看问题，在教学过程中，这样的一道题，胜过三道不同的题目，深入挖掘题目本身的构造，有利于培养学生全面思考问题的习惯，而一题多解本身，也考验学生的学习习惯与态度，通常情况下老师如果不作要求，那么多数学生完成之后便不会再思考另外的解法，这并不好，需要老师在批改作业时，对使用多种解法的学生进行鼓励，从而让“题尽其用”。

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